第86章 高斯定理的估算
「這位同學，請保持清醒，不要在考場上打瞌睡。♘🐺 ➅９s𝕙ⓤｘ.ᶜ𝕠Ｍ ඏ🐉」監考老師十分嚴肅的提醒沈奇。
「嗯，抱歉。」沈奇揉揉太陽穴，最近一段時間改《奧數冠軍沈奇的數學技巧》的稿子，改的他心力憔悴，沒怎麼休息好。
「趕緊搞定最後一道計算題，搞完了回家補覺。」沈奇打起精神，仔細審題。
審完最後一道25分的計算題，沈奇終於有了幾分興趣：「就這最後一題，像是正規物理老師出的題。」
物理計算題大多配有示意圖，不配圖的物理題一般呈現兩種極端，一種是簡單的想打瞌睡，另一種是難的吊炸天。
初賽鎮宅之題的分值最高，25分，這道計算配有示意圖。
示意圖是一個圓，從圓心O到圓周七點鐘方位畫有一條虛線R，這條虛線R是圓的半徑。在圓心O旁邊不遠處有個小黑點mq。
本題的文字描述是：
「如圖所示，電荷線密度為λ（λ＞0），半徑為R的均勻帶電圓環固定在光滑的水平絕緣桌面上。質量為m、電量為q的光滑小球，靜止放在桌面上與圓環中心O點非常接近的位置處。」
「設圓環上電荷的分布不受小球電荷的影響，試判斷小球之後的運動是否為振動？」
「若為振動，設小球初始位置與O點的距離r0＜＜R，試用適當的近似方法估算小球的振動周期T。」
估算與嚴格計算的區別在於，估算可以繞過複雜的數學演算，直接獲得正確的定性結論和比較接近的粗略定量結果。
就初賽最後一道計算題而言，小球的運動是振動還是非振動，沈奇必須給出定性結論，判斷不得有誤。這是第一步。
對於同一道物理題，如果採用估算方法，可選擇的途逕往往不止一條。
很明顯，這是道電磁學題目，沈奇在諸多種估算方法中，選擇靜電場高斯定理為依據開始答題。
沈奇作出一個輔助圖，取通過O點並與圓環平面垂直的軸為x軸。
在圓平面上以O點為圓心，作半徑為r的圓。
將此圓沿x軸的正負方向各延展l，一個圓柱面就此形成。
沈奇取此圓柱面為高斯面，因其中無電荷，根據高斯定理可得：
E*ds=0
高斯定理一祭出，真相越來越清晰。
帶正電的小球所受靜電力總是指向圓環中心O點，為恢復性保守力，小球的運動為振動，振動中心就是O點。
沈奇很快解決了第一問，這就是定性給結論，接受過物競培訓的學生應該都能給出正確的結論性判斷。
第二問要求沈奇估算小球的振動周期T，稍微麻煩一點點。
圓柱兩端面的電通量可以近似的用x軸上的電場強度來計算，沈奇作出計算：
E1=λ（2πR）l/4πε（R^2+l^2）^3/2=λRl/2ε（R^2+l^2）^3/2
那麼通過兩端面的電通量近似值就出來了：
兩端面E*ds≈E1*2πr^2
通過圓柱側面的電通量可以近似的用圓平面上與O點相距為r處的電場強度Er來計算，根據高斯定理可得：
圓柱面E*ds=兩端面E*ds+側面E*ds=0
那麼帶電小球在r處所受靜電力為：
Fr=qEr=-λq/4εR^2*r
考慮到線性恢復力，小球在它的作用下將繞O點做簡諧振動。
所以周期T=4πR根號εm/λq
「搞定。」歷經CMO乃至IMO的洗禮，沈奇在學科競賽的賽場上已算一位經驗豐富的老將。
數競也好，物競也罷，競賽模式大同小異。
既然是老將，就不能驕傲自大、暴躁浮誇，必須時刻保持嚴謹的競賽作風。
沈奇檢查了一遍考卷，然後交卷，此時距開考過去了30多分鐘。
「這尼瑪？」
「臥槽？」
「這麼早交卷？」
「不停的寫，寫滿試卷也得30分鐘吧？」
「這貨不用思考的？還是瞎幾把寫？」
同一考場的其他選手明顯受到沈奇交卷的影響，各自在心中高呼MMP。
雖然CPhO全國初賽的考卷不難，但這麼早交卷也屬罕見。
物競圈子裡也有眼尖的選手：「提前交卷這貨……莫非是沈奇？那個國際奧數競賽的冠軍？」
沈奇走到考場門口，阿嚏，忽然打了個噴嚏，脊梁骨竟冒出一絲寒意。
「誰在罵我？」沈奇猛然回頭，眼神犀利掃視眾選手。
「草！」
眾選手菊花亂顫，遂埋頭繼續答題。
「喂，交了卷請迅速離開考場。」監考老師催促沈奇，並快速審視沈奇的試卷，該寫的都寫滿了，有理有據，不像瞎矇，這種情況允許提前兩個多小時交卷。
沈奇大步離去，在考場外見到了穆蓉。
「這……沈奇你也太快了吧？」穆蓉有些意外。
沈奇略顯從容：「一般一般，亞洲第三。」
「那亞洲前二是誰？」穆蓉忍住不讓自己發笑。
沈奇一本正經的說到：「是校長和穆老師。」
「哈哈。」穆蓉終於忍不住笑了起來，又覺得疑惑：「你這政治覺悟，政治考試不可能拿B吧？」她也聽說了，沈奇政治考試拿了個B，其餘幾門都是A。
「哎，誰不曾年輕過，懵懂過。」沈奇一想起政治考試就不爽，黑歷史啊，無法抹去的污點。當然了，高二下學期之前沈奇黑歷史挺多的，既然無法抹去，那便坦然面對。
沈奇伸了個懶腰：「哈欠……好睏，我要睡覺了。」
「去吧，回家好好休息，辛苦了。」穆蓉沒有跟沈奇討論任何一題，沈奇的行動說明了一切。
初賽的閱卷工作將在一到兩周內完成，CPhO的複賽安排在四月中旬舉行。
第二天，沈奇在南港二中遇見了幾個校物競隊的隊友。
「我估完分，覺得能考個140？」物競隊的隊友林星宇說到。
「我錯了一道選擇題、兩道填空題，兩道計算題，初賽得分大概在120到130之間。」另一位隊友白玲燁說到。
「你呢沈奇大佬？」林星宇問到。
「我估計在200分左右？或許最後一道計算題某些步驟要扣掉一兩分，也說不準，不知道。」沈奇說到。
「牛！」林星宇對沈奇有種盲目的崇拜，200分就是滿分。
「完了完了，初賽晉級分數線被沈奇拉高了。」白玲燁苦哈哈的說到。
「白玲燁你數學怕是不及格哦。」林星宇說到，「全國那麼多選手參賽，一個滿分就拉高分數線了？吐槽都不會，差評！」
……
……
（昨天初二在親戚家喝大了，剛起床，腦殼疼，起來發一章存稿然後接著睡，今天估計碼不了幾個字，晚上還要去其他親戚家吃飯，在我老家過年，20歲以上的男人不喝酒是不被允許的。
接到起點的通知，3月1日上架，我得存點稿，今天估計存一章稿都難，所以只能更新一章。）
(本章完)